zeta55 (3K)
Riemann
zeta4 (3K)
erasto1 (3K)
Erastotenes
eukl1 (3K)
Euklides
euler (8K)
                 Euler

The lovely Zeta

Erica Klarreich (pokračovanie článku "O prvočíslach")

The zeta function is simply a particular way of turning one number into another number, like the function "multiply by 5". Riemann decided to see what would happen if he fed the zeta function complex numbers-numbers made from a real part (an ordinary number) and a so-called imaginary part (a multiple of i, the square root of -1). Complex numbers can be visualised as arrayed on the complex plane, with real numbers on the horizontal axis and imaginary numbers on the vertical axis.

Riemann found that certain complex numbers, when plugged into the zeta function, produce the result zero. The few zeros he could calculate lay on a vertical line in the complex plane, and he guessed that, except for a few well-understood cases, all the infinity of zeros should lie exactly on this line.

What does this have to do with the primes? If you plot how many primes exist below a given number (see Diagram above), what you get is a smooth curve with small wiggles added-that is, the 1/ln(x) rule, plus deviations.

According to Michael Berry of Bristol University, you can think of that pattern of deviations as a wave. Just like a sound wave, it is made up of many frequencies. "And what are the frequencies?" asks Berry. "They're the Riemann zeros. The zeros are harmonies in the music of the primes."

Berry isn't speaking in metaphors. "I've tried to play this music by putting a few thousand primes into my computer," he says "but it's just a horrible cacophony. You'd actually need billions or trillions-someone with a more powerful machine should do it."

Riemann worked out that if the zeros really do lie on the critical line, then the primes stray from the 1/ln(x) distribution exactly as much as a bunch of coin tosses stray from the 50:50 distribution law. This is a startling conclusion. The primes aren't just unpredictable, they really do behave as if each prime number is picked at random, with the probability 1/ln(x)--almost as if they were chosen with a weighted coin. So to some extent the primes are tamed, because we can make statistical predictions about them, just as we can about coin tosses.

But only if Riemann's guess was right. If the zeros don't line up, then the prime numbers are much more unruly. As Enrico Bombieri of the Institute for Advanced Study in Princeton writes on the Clay Institute website [1] "The failure of the Riemann hypothesis would create havoc in the distribution of prime numbers." And the havoc would spread further. Hundreds of results in number theory begin, "If the Riemann hypothesis is true, then . . ."

This is why mathematicians long to prove the hypothesis. But how do you prove something about an infinity of numbers?

Researchers have used supercomputers to calculate the first 1,500,000,001 zeros above the x-axis, and millions of other zeros higher up, and so far all of them lie on the critical line. If just one of them did not, the Riemann hypothesis would be killed.

This is heartening, but no amount of computer hacking can prove the hypothesis. There are always more zeros to check. And, cautions Andrew Odlyzko of AT&T Labs, who has spearheaded the effort to calculate zeros, "number theory has many examples of conjectures that are plausible, are supported by seemingly overwhelming numerical evidence, and yet are false."

Some deeper insight is needed. Early in the 20th century, mathematicians made a daring conjecture: that the Riemann zeros could correspond to the energy levels of a quantum mechanical system.

Quantum mechanics deals with the behaviour of tiny particles such as electrons. Crucially, its equations work with complex numbers, but the energy of a physical system is always measured by a real number. So energy levels form an infinite set of numbers lying along the real axis of the complex plane--a straight line.

This sounds like Riemann's zeros. The line of zeros is vertical, rather than horizontal, but it is a simple bit of maths to rotate it and put it on top of the real line. If the zeros then match up with the energy levels of a quantum system, the Riemann hypothesis is proved.

For decades, this idea was only wishful thinking. Then in 1972 came a hint that it could work. Hugh Montgomery, at the University of Michigan, had found a formula for the spacings between Riemann zeros. Visiting the Institute for Advanced Study at Princeton, he ran into physicist Freeman Dyson at afternoon tea, and mentioned his formula. Dyson recognised it immediately. It was identical to a formula that gives the spacings between energy levels in a category of quantum systems-quantum chaotic systems, to be precise.

Chaos theory applies to physical systems so sensitive to their starting conditions that they are impossible to predict. In the Earth's chaotic atmosphere, for example, the tiny draught caused by the flap of a butterfly's wings can eventually lead to a tremendous storm. Almost all complicated systems are chaotic.

The quantum versions of these systems have a jumble of energy levels, scattered apparently at random but in fact spaced according to Montgomery's formula. Quantum chaotic systems include atoms bigger than hydrogen, large atomic nuclei, all molecules, and electrons trapped in the microscopic arenas called quantum dots. Could the Riemann zeros fit one of these quantum chaotic systems?

In the late 1980s, Odlyzko picked an assortment of systems, and compared their energy levels with the Riemann zeros. In a discovery that electrified mathematicians and physicists, Odlyzko found that when he averaged out over many different chaotic systems, the energy level spacings fitted the Riemann spacings with stunning precision.

That's still not enough. To prove the Riemann hypothesis, researchers must pinpoint a specific quantum system whose energy levels correspond exactly to the zeros, and prove that they do so all the way to infinity. Which, of all the different systems, is the right one?

Pôvabná Zeta

preložila: Klára Mrázová

Zeta funkcia je jednoducho iba určitý spôsob, ako zmeniť jedno číslo na iné číslo, ako napr. funkcia " násob všetky čísla číslom 5". Riemnann bol zvedavý, čo sa stane ak použije pre zeta funkciu komplexné čísla X + iY (i = √-1), kde X je reálna časť a Y imaginárna časť. Kommplexné čísla si môžeme predstaviť ako usporiadané v komplexnej rovine, s reálnymi číslami na horizontálnej osi a imaginárne čísla na vertikálnej osi.

Riemann zistil, že ak vložíme určité komplexné čísla do zeta funkcie, ich výsledkom je nula. Niekoľko nulových hodnôt, ktoré spočítal, ležalo na vertikálnej osi komplexnej roviny, a odhadol, že okrem niekoľko triviálnych prípadov, všetky nuly, nekonečný počet, musia ležať presne na tejto čiare.

Čo to má spoločné s prvočíslami? Ak zakreslíte, koľko prvočísel je pod daným číslom (obr. v minulom článku) dostanete hladkú krivku s malými odchylkami, to je pravidlo 1/ln(X) plus tie odchylky.


Podľa Michaela Berryho z Bristolskej univerzity je možné považovať tento tvar odchyliek za vlnenie. Tak ako zvuková vlna, pozostáva z mnohých frekvencií. "A čo sú frekvencie?" pýta sa Berry. " Sú to Riemannove nuly. Riemannove nuly sú harmóniami v hudbe prvočísel."

Berry nehovorí v metaforách. "Pokúšal som sa zahrať túto hudbu vložením niekoľko tisíc prvočísel do môjho PC, ale bola to strašná kakofónia. Bude potrebné vložiť niekoľko miliárd alebo aj triliónov. Bude potrebný oveľa výkonnejší počítač.

Riemann prišiel na to, že ak nuly ležia skutočne na kritickej čiare, potom sa počet prvočísel odchyľuje od rozdelenia 1/ln(X) presne tak, ako sa odchyľuje mnohonásobný hod mincami od zákona rozdelenia 50:50. Je to prekvapujúci záver. Prvočísla, podľa toho nie sú nepredpovedateľné, ony sa skutočne chovajú, akoby každé prvočíslo bolo zvolené náhodne, skoro tak, akoby boli zvolené podľa hodu mincou. Takže do istej miery prvočísla sú skrotené, pretože je možné robiť štatistické predpovede o nich, práve tak ako o výsled-koch hodu mincou.

Ale iba ak Riemannovo tušenie je správne. Ak prvočísla sa tak nezoraďujú, potom sú prvočísla o mnoho nepravidelnejšie. Enrico Bombieri z Ústavu pre pokročilé štúdia v Princetone píše na webovej stránke Clay-ovho ústavu [1]  "Neúspech Riemannovej hypotézy spôsobí "božie dopustenie" v rozdelení prvočísel. Spúšť sa bude šíriť ďalej. Stovky dosiahnutých výsledkov v oblasti teórie čísel začína: " Ak je Riemannova hypotéza pravdivá, potom..."

To je príčina, prečo matematici túžia dokázať túto hypotézu. Ale ako dokážete niečo o nekonečnom počte čísel?

Bádatelia použili superpočítače pre výpočet prvých jeden a pol miliardy núl nad X-ovou osou, a milióny ďalších, a všetky ležali na kritickej čiare. Ak čo len jedna z nich by neležala na kritickej čiare, Riemannova hypotéza by bola zavrhnutá.

Je to sľubné, ale ani obrovský počet spojených počítačov nemôže hypotézu dokázať. Stále existuje viac a viac núl, ktoré treba skontrolovať. A opatrný Andrew Odlyzko z Laboratórií AT&T ktorý bol na čele úsilia výpočtov Riemannových núl hovorí "v teórii čísel je mnoho príkladov predpokladov, ktoré sa zdajú pravdepodobné a sú zdanlivo podporované mnohými číselnými údajmi, a predsa sú falošné.

Je potrebné hlbšie skúmanie. Začiatkom 20. storočia, matematici predložili odvážný predpoklad, a to, že Rie-mannove nuly by mohli zodpovedať energetickým hladinám v kvantovej mechanike.

Kvantová mechanika vysvetľuje zákonitosti správania sa mikročastíc, ako napr. elektrónov. Väčšinou používa rovnice s komplexnými číslami, ale energia fyzikálneho systému je vždy meraná reálnym číslom. A teda energetické hladiny tvoria nekonečný počet čísel, ležiacich pod reálnou osou koplexnej roviny - na priamke.

To sa podobá na Riemannove nuly. I keď priamka núl je vertikálna, je možné ju rotovaním umiestniť na horizontálnu os. Ak potom Riemannove nuly sa zhodujú s energetickými hladinami kvantovej mechaniky, Riemannova hypotéza by bola dokázaná.

Po desaťročia táto myšlienka bola len zbožné prianie. Roku 1972 sa objavil náznak, že by to mohlo fungovať. Hugh Montgomery z Michiganskej univerzity objavil vzorec pre vzdialenosti medzi Riemannovymi nulami. Keď navštívil v Princetone Ústav pre pokročilý výskum, stretol sa s fyzikom Freemanom Dysonom a zmienil sa o svojom vzorci. Dyson ho rozpoznal okamžite. Je identický so vzorcom, ktorý udáva intervaly medzi energetickými hladinami v kategórii kvantové systémy - presnejšie chaotecké kvantové systémy.

Teória chaosu sa zaoberá systémami, ktorých dynamika citlivo závisí od začiatočných podmienok, takže ich správanie nie je dlhodobo predpovedateľné. Napríklad v chaotickej atmosfére Zeme, maličká zmena tlaku spôsobená letom motýla môže viesť niekedy k strašnej búrke. Skoro všetky koplikované systémy sú chaotické.

Kvantové verzie týchto systémov majú hromadu energetických hladín, rozptýlených zdanlivo náhodne, ale v skutočnosti sú rozložené podľa Montgomeryho vzorca. Chaotické kvantové systémy obsahujú atomy väčšie ako atom vodíka, veľké jadrá atomov, všetky molekuly, a elektróny zachytené v mikroskopických oblastiach nazvaných kvantové body. Môžu sa Riemannove nuly shodovať s niektoru z týchto chaotických kvantových systémov.?

Koncom 80-tých rokov Odlyzko vybral jednu sadu systémov a porovnal ich energetické hladiny s Riemannovými nulami. Jeho objav vzrušil matematikov a fyzikov: Odlyzko zistil, že keď spriemernil mnohé chaotické systémy, rozmiestnenie energetických hladín sa skvelo zhodovalo s rozmiestnením Riemannových núl.

To však stále nestačí. Aby dokázali Riemannovu hypotézu, bádatelia musia nájsť presne špecifický kvantový systém, ktorého energetická hladina zodpovedá presne Riemannovým nulám, a musia dokázať že sú totožné stále až do nekonečna. Ktorý z týchto rôznych systémov je ten pravý?


[1]   http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/riemann.pdf


Zdroje
  1. Riemannova hypotéza
  2. Teória čísel
  3. Mersennove prvočísla
Výuka latinčiny

Stránka je v súlade s aktuálnymi normami.

Valid HTML 4.01 Transitional



Domov

©  Klára Mrázová