Riešenie rovníc o 3 neznámych

Majme tri rovnice o troch neznámych, X, Y, Z, ktoré sú uvedené na Obr.1. Pre efektívne riešenie, za predpokladu, že riešenie existuje, použijeme dve funkcie:
  1. MMMULT
  2. MINVERSE
MMULT vráti maticu , ktorá vznikla súčinom dvoch matíc(polí), ktorá obsahuje rovnaký počet riadkov ako pole1 a rovnaký počet stĺpcov ako pole2. MMULT je teda súčin dvoch matíc. MINVERSE vráti inverznú maticu, uloženej v poli. Syntax týchto dvoch funkcií je nasledovný:

=MMULT(pole1;pole2)

=MINVERSE(pole)

Maticu koeficientov troch uvedených rovníc vidíme na Obr.2 v oblasti A1:C3, teda ide o štvorcovú maticu, má tri riadky a tri stĺpce. V oblasti D1:D3 je matica pravých strán, teda matica, ktorá má 3 riadky a 1 stĺpec. Keď vynásobíme inverznú maticu k matici, uloženej v poli A1:C3 s maticou pravých strán, dostávame maticu, ktorá má 3 riadky a 1 stĺpec a ktorá obsahuje hodnoty neznámych X Y,Z. Do oblasti E1:E3 zapíšeme vzorce, ako to ukazuje Obr.2. Urobíme to tak, že najprv vyznačíme bunky E1:E3, potom zapíšeme vzorec len do bunky E1 (Obr.4) a stlačíme klávesy CTRL + SHIFT + ENTER .Vtedy v oblasti E1:E3 dostávame hodnoty neznámych X,Y,Z ako to vidíme na Obr.3.

3 rovnice

Vzorce

Hodnoty

Vložte vzorec

Klasicky by sme úlohu riešili tak, ako si to pamätáme zo strednej školy, pomocou determinantov. Determinant sústavy (v ďalšom Ds) vidíte na Obr.5 v oblasti B1:D3. Sú to koeficienty neznámych X,Y,Z. Determinant v oblasti B5:D7 na Obr.6 je determinant, ktorý vytvoríme z Ds tak, že nahradíme stĺpec B v Ds stĺpcom pravých strán sústavy rovníc na Obr.1. Na Obr.7 je determinant, v ktorom je nahradený stĺpec C v Ds pravými stranami sústavy rovníc a analogicky na Obr.8 je determinant, v ktorom je nahradený stĺpec D v Ds pravými stranami sústavy rovníc. V bunkách E1,E5,E9 a E13 sú nasledujúce matematické funkcie:

=MDETERM(B1:D3)

=MDETERM(B5:D7)

=MDETERM(B9:D11)

=MDETERM(B13:D15)

Potom už len vložíme do buniek F5, F9 a F13 vzorce:

=E5/E1

=E9/E1

=E13/E1

a dostávame hodnoty neznámych X,Y,Z.

Determinant sústavy

D1

D2

D3

Príklady boli vypracované v Excel 2000 pod OS Windows XP.

Príklady si môžete stiahnuť.
stat.zip    Veľkosť: 19 kB

Kontakty


Valid HTML 4.01 Transitional

Stránka je v súlade s aktuálnymi normami.



© Klára Mrázová