Prime time

Erica Klarreich [1].

Fame and fortune await the person who cracks the greatest problem in mathematics. And that could be any day now, says Erica Klarreich. WHEN G. H. Hardy faced a stormy sea passage from Scandinavia to England, he took out an unusual insurance policy. Hardy scribbled a postcard to a friend with the words: "Have proved the Riemann hypothesis". God, Hardy reasoned, would not let him die in a shipwreck, because he would then be feted for solving the most famous problem in mathematics. He survived the trip.

Almost a century later, the Riemann hypothesis is still unsolved. Its glamour is unequalled because it holds the key to the primes, those mysterious numbers that underpin so much of math-ematics. And now whoever cracks it will find not only glory in posterity, but a tidy reward in this life: a $1 million prize announced this April by the Clay Mathematics Institute in Cambridge, Massachusetts.

There are signs that the great prize might soon be claimed, and the most promising approaches come not from pure mathematics, but from physics. Researchers have discovered a deep connection between the Riemann hypothesis and the physical world-a connection that could not only prove the hypothesis, but also tell us something profound about the behaviour of atoms, molecules and even concert halls. One mathematician has followed this lead into a very strange place, seeking a solution in an intricately twisted space with infinitely many dimensions.

Yet the primes seem simple enough at first glance. They are those numbers, like 2, 3, 5 and 7, that are only divisible by 1 and themselves, although 1 isn't included among them. Primes are the atoms of the number system, because every other number can be built by multiplying primes together. Unfortunately there is no periodic table for the primes-they are maddeningly unpredictable, and finding new primes is mostly a matter of trial and error.

In the 19th century, mathematicians found a little order in this apparent chaos. Even though individual primes pop up unexpectedly, their distribution follows a trend. It's like tossing a coin. The result is unpredictable, but after many coin tosses we expect roughly half heads and half tails. The primes get rarer as you look at larger and larger numbers (see Diagram), and mathematicians found that this thinning out is predictable. Below a given number x, the proportion of primes is about 1/ln(x), where ln(x) is the natural logarithm of x. So, for example, about 4 per cent of numbers smaller than ten billion are prime. So far so good. But that "about" is very vague. Numbers are products of pure logic, and so surely they ought to behave in a precise, regular way. Mathematicians would at least like to know how far the prime numbers stray from the distribution.

Georg Riemann found a vital clue. In 1859, he discovered that the secrets of the primes are locked inside something called the zeta function.

Svitanie

preložila: Klára Mrázová

Sláva a šťastie čaká toho, kto rozlúšti najväčší problém v matematike. Môže sa to stať odteraz kedykoľvek, hovorí Erica Klarreich [2]. Keď G.H. Hardy [3] čelil plavbe na rozbúrenom mori zo Škandinávie do Anglicka, zvolil si neobvyklé poistenie. Hardy naškrabal pohľadnicu priateľovi s týmito slovami: "Dokázal som Riemanovu hypotézu". Boh, odôvodňoval Hardy, ho nenechá zomrieť vo vraku, pretože potom by bol oslavovaný, že rozriešil najslávnejší problém v matematike. Hardy prežil plavbu.

Skoro o storočie neskôr Riemannova hypotéza je stále nerozriešená. Pôvab tejto hypotézy nemá páru, pretože je kľúčom k prvočíslam, záhadným číslam, ktoré sú podkladom časti matematiky. A teraz, ktokoľvek ju rozrieši získá nielen slávu aj u budúcich generácií, ale aj slušnú odmenu - cenu 1 milión dolárov oznámenú v apríli tohto roku Matematickým ústavom Landon T. Clay-a v Cambridgi (Massachusetts).

Sú signály, že táto významná cena môže byť čoskoro nárokovaná. Najsľubnejšie prístupy prichádzajú nie od matematikov, ale od fyzikov. Výskumníci objavili skrytú spojitosť medzi Riemannovou hypotézou a fyzickým svetom - spojitosť, ktorá môže nielen hypotézu dokázať, ale odhaliť čosi závažného o chovaní sa atomov, molekúl a dokonca aj koncertných sálov. Istý matematik hľadajúc riešenie, šiel po tejto stope, ktorá viedla na veľmi nezvyklé miesto - komplikovane stočený priestor s nekonečnými dimenziami.


Ale napriek tomu, prvočísla sa zdajú byť jednoduché na prvý pohľad. Sú to čísla 2, 3, 5, 7, atď., ktoré sú deliteľné len 1 a samým sebou. Jednotka nie je zahrnutá do prvočísel. Prvočísla sú "atomy" číselneho systému, pretože každé iné číslo môže byť vytvorené násobením niekoľkých prvočísel. Bohužiaľ, neexistuje "periodická tabuľka" pre prvočísla - sú rozčuľujúco nepredpovedateľné. Nájsť nové prvočísla je väčšinou záležitosťou pokus-omyl.

V 19. storočí našli matematici trochu poriadku v tomto zdanlivom chaose. Aj keď jednotlivé prvočísla sa objavujú nepredvídateľne, ich rozdelenie sleduje určitý trend. Je to ako hádzanie mincou. Výsledok je nepredpovedateľný, ale po mnohých hodoch, očakávame že padne približne 50% hlava, 50% znak. Prvočísla sa stávajú zriedkavejšími ak postupujete stále k vyšším a vyšším číslam (obrázok). Matematici zistili, že toto zmenšovanie je predpovedateľné. Pod daným číslom X je počet prvočísel okolo 1/ln(X) (ln ... prirodzený logaritmus čísla). Tak napríklad, asi 4 % čísel, menších ako 1 miliarda sú prvočísla. Zatiaľ je to v poriadku. Ale to "asi" je veľmi hmlisté. Čísla sú dielom čistej logiky, a tak by sa mali iste chovať presným pravidelným spôsobom. Matematici by chceli vedieť prinajmenšom, ako sa rozdelenie prvočíslel odchyľuje od spomínaného rozdelenia.

George Riemann objavil dôležitý kľúč k riešeniu. V r. 1859 objavil, že tajomstvo prvočísel je zamknuté vo vnútri funkcií, ktoré nazval zeta funkcie.


[1]  http://www.timetoeternity.com/time_space_light/prime_time.htm (z roku 2000)

[2]   Erica Klarreich je popularizátorkou vedy. Vyštudovala matematiku a získala hodnosť Ph. D. na Univerzite v Stony        Brook (cca 100 km východne od New Yorku).

[3]  G. H. Hardy (1877 -1947) významný anglický matematik (teória čísel, matematická analýza).

Pokračovanie neskôr...
PrimCis (24K)

Výuka latinčiny

Stránka je v súlade s aktuálnymi normami.

Valid HTML 4.01 Transitional



Domov

©  Klára Mrázová