post1 (12K)
Pozrime sa na postupnosť: pst1 (1K)
Je jasné, že platí: pst2 (2K) Čísla sú stále väčšie a väčšie...
Pozrime sa teraz na inú postupnosť: pst3 (2K)
V tomto prípade máme: pst4 (3K) Čísla sú stále menšie a menšie...

Sme zvedaví, či vždy nastanú takéto prípady???   Odpoveď je samozrejme, že NIE. Pozrime sa na nasledujúcu postupnosť:

pst5 (2K) V tomto prípade máme: pst6 (8K)

Po prezretí tejto časti postupnosti máme sklon veriť, že čísla budú stále väčšie. Omyl!!   Poďme ďalej:

pst7 (5K) Vidíme, že desiatý člen sa rovná deviatemu. Ďalej:
pst8 (5K) a tu už desiaty člen je väčší ako jedenásty!

Členy postupnosti sa zväčšujú až do desiatého člena a potom sa zmenšujú. Mohli sme sa dopustiť omylu, ak sme testovali len prvých 9 členov!
Uvažujme postupnosť: pst9 (2K)
Ak máme overiť, či platí: pst10 (2K) Museli by sme to robiť do nekonečna.
Existuje však aj kratšia cesta, stačí ak dokážeme,že:   Xn ≤ Xn+1 pre každé n ≥ 1.
Hovoríme, že postupnosť pst9 (2K)

je rastúca    ak, a len ak  Xn ≤ X n+1   pre každé   n ≥ 1
Naopak, táto postupnosť je klesajúca   ak, a len ak    Xn ≥ X n+1   pre každé   n ≥ 1. Ak je postupnosť rastúca, alebo

klesajúca nazýva sa monotónna.
Dokážme teda, že postupnosť pst12 (2K) je rastúca.    Máme:
pst13 (1K) Keďže  2 > 1  potom : pst14 (1K)

Zdroje:


  1. Sequences (Angl.)
  2. Posloupnosti (Česky)
  3. Postupnosti
  4. Posloupnosti (Česky)
  5. The mathematical atlas(angl.)

Kontakty

Stránka je v súlade s aktuálnymi normami.

Valid HTML 4.01 Transitional



Domov

©  Klára Mrázová