Domov

Poissonovo rozdelenie

Poissonovo rozdelenie Po ( λ ) vzniká ako limitný prípad binomického rozdelenia Bi ( p,n ) ak n → ∞ a p → 0, pričom E ( np ) = λ  (λ = konštanta). Tento fakt zapisujeme X ~ Po ( λ ). Poissonovo rozdelenie je diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti. Vyjadruje pravdepodobnosť toho, že sa zrealizuje práve daný (celočíselný) počet "udalostí" v pevnom časovom intervale, keď poznáme strednú hodnotu výskytu týchto udalostí za uvedený časový interval (aj keď tieto udalosti nie sú vzájomne jedna od druhej závislé). Toto rozdelenie bolo objavené Siméonom-Denisom Poissonom (1781 - 1840) a publikované v r. 1838.

Majme diskrétny náhodný proces, napr. počítajme, koľko elektrónov dopadne na danú plochu za vopred zvolený, pevný časový interval. Potom pravdepodobnosť p ( n, λ ) toho, že sa v tomto intervale objaví práve presne n javov (n je celé nezáporné číslo, n = 0, 1, 2, ...) sa rovná

po2 (2K)
kde λ je kladné reálne číslo, ktoré udáva stredný počet udalostí, ktoré pripadajú na zvolený časový interval. V pripade, že pozname početnosť μ realizacii pozorovaneho javu (t.j. priemerny počet udalostí objavujucich sa za jednotku času), potom vzťah pre pravdepodobnosť bude mať tvar:
po3 (2K)

Príklad 1

V banke vybavia priemerne 72 zákazníkov za 1 hod. Aká je pravdepodobnosť p, že vybavia 4 zákazníkov za 3 minúty?
Riešenie: Najprv si vypočítame na hárku EXCELU koľko zákazníkov vybavia za 1 minutu a potom priemer za 3 minuty a zadáme štatistickú funkciu =POISSON(4;3,6;FALSE):

po5 (10K)
dostávame výsledok: pravdepodobnosť že vybavia 4 zákazníkov za 3 minúty je 0,1912.





po8 (7K)
Ten istý výsledok dostávame, ak dosadíme údaje do vzorca  (1). Na obrázku v prvom riadku sú naznačené vzorce pre výpočty v druhom riadku.



Príklad 2
Zistite pravdepodobnosť kazov v konfekčnom oblečení. V 1000 m látky sa nachádza 50 kazov. Na jeden oblek je potrebné v priemere 2,8 m látky. V priemere pripadne na 1 m látky 0,05 kazu (=50/1000). Priemer kazov pripadajúcich na 1 oblek = 0,14 (2,8*0,05).
Riešenie: Ak chceme vedieť, aká je pravdepodobnosť napr. 0 kazov (1 kaz, 2 kazy ..) v obleku, mohli by sme do vzorca (1) dosadiť za n číslo 0, za λ dosadíme hodnotu 0,14. Ale EXCEL nám to uľachčí a urýchlí - zadáme štatistickú funkciu - ako je to zobrazené na výstrižku z hárku Excelu:

po9 (14K)
Konštatujeme, že pravdepodobnosť 0 kazov v obleku je vysoká, približne 0,9 a pravdepodobnosť 2 alebo viac kazov v obleku je mizivá.



Príklad 3
V knihe, ktorá má 250 strán je 50 chýb. Zistite pravdepodobnosť, že na stránke napr. 100 nie je žiadna chyba. Priemerný počet chýb na 1 strane je 50/250 = 0,2; Označme náhodnú premennú X počet chýb na strane. X bude mať Poissonove rozdelenie, s parametrom 0,2. Teda λ=0,2.
Výsledok zistíme buď dosadením do vzorca :

po10 (3K)

(0! nula faktoriál rovná sa 1) alebo
zas štatistickou funkciou v Exceli:

po11 (7K)


Zdroje:
Poissonovo rozdelenie




Valid HTML 4.01 Transitional
Stránka je v súlade s aktuálnymi normami.

Domov
©  Klára Mrázová