Určité integrály

Na Obr. 1 vidíme grafy dvoch funkcií:   funkcia f(x) a funkcia g(x)
Máme určiť plochu, ktorú ohraničujú tieto dve funkcie v určitom intervale x Î <a , b>. a=0; b=3; Plochu, ktorú máme určiť, zobrazuje Obr. 2 . Pre výpočet použijeme približný výpočet určitých integrálov:
g(x)
f(x)

lichobežníkovou metódou. Interval <a , b> rozdelíme na n dielikov, v našom prípade n=50 h=(b-a)/n. Na obr. 3 vidíme časť dát pre výpočet vyššie uvedených funkcií a na obr. 4 príslušné vzorce. Plochu, ohraničenú funkciami g(x) a f(x) v intervale <a , b > nám dáva rozdiel integrálov
Integrály
Dve funkcie
Údaje

Plocha ohraničená dvoma funkciami
Vzorce

Na tomto obrázku (5) vidíme, že ak daný interval <a,b> rozdelíme na toľko dielikov, aby h bolo veľmi malé, s veľmi dobrým priblížením môžeme vypočítať plochu uzavretú medzi našimi dvoma grafmi pre niektorý zvolený dielik, ak spočítame plochu modrého lichobežníka a od tejto plochy odpočítame plochu červeného lichobežníka. Plocha lichobežníka = h(z1+z2)/2. Ak nahradíme z1 a z2 funkčnými hodnotami, dostávame pre súčet plôch všetkých modrých lichobežníkov (3) a súčet plôch všetkých červených lichobežníkov (4)
lichobežníkv
Na obr. 7 je koniec tabuľky, ktorá je na obr.3. Posledná hodnota x je 3,00 v bunke D54. V bunkách E54 a F54 sú zobrazené funkčné hodnoty f(x) a g(x). V bunke E55 je - ako to vidíme z obr. 8, kde sú vzorce, súčet všetkých hodnôt f(x) s výnimkou prvej a poslednej, nakoľko z týchto treba pripočítať len polovičnú hodnotu (viď rovnicu (4) vyššie), čo je zabezpečené vzorcom v bunke E56. Analogicky to platí aj pre súčet funkčných hodnôt g(x), viď rovnicu (3) . Napokon súčty v bunkách E56 a F56 vynásobíme hodnotou šírky dielika h=0,06 a dostávame plochu ohraničenú krivkou f(x) resp. g(x). V bunke E58 je výsledok, t.j. plocha, ohraničená funkciami f(x) a g(x). Máme však možnosť použiť aj inú metódu výpočtu. Simpsonovou metódou - rovnica (5) na rozdiel od metódy lichobežníkovej, ktorá je len približná, dostávame pre mnohočleny (polynomy) maximálne tretieho stupňa presný výsledok. Túto metódu môžeme použiť pre získanie presného výsledku, nakoľko náš príklad obsahuje polynomy iba druhého stupňa. Ak zvolíme Simpsonovo pravidlo výpočtu, n musí byť párne (sudé). n som zvolila 60. Výpočty ilustrujú obrázky 9 a 10, 11 a 12.Presný výsledok je v bunke i66 na obr. 11, t.j. 9,0 jednotiek. Na obr. 12 vidíme príslušné vzorce.
lichobežník


Dáta
Obr. 8
Obr. 9
Obr. 10
Obr. 11
Obr. 12

Príklady boli vypracované v Excel 2000 pod OS Windows 98

Stiahnite si súbor   integr.zip   Veľkosť:28kB

Kontakty
Valid HTML 4.01 Transitional

Stránka je v súlade s aktuálnymi normami.
© Klára Mrázová