Derivácie

Výpočet derivácií je dôležitý pre riešenie konkrétnych fyzikálnych a geometrických úloh. Pojem derivácie bol vytvorený v druhej polovici 17 storočia (Newton, Leibniz). Pojem derivácie bude demonštrovaný niekoľkými príkladmi. Ako prvý príklad uvažujme funkciu (1), a jej prvú a druhú deriváciu vzorec (2) a (3)..

Funkcia
Prvá derivácia
Druhá derivácia
a, b, c, d vo vzorcoch (1), (2) a (3) sú konštanty.
[Derivácia konštanty je nula, derivácia výrazu Xn=nXn-1, teda napr derivácia a je nula a derivácia bX je b a derivácia cX2 je 2cX, atď.]
V tabuľke Excelu (obrázok (1)) natypujeme hodnoty nezávisle premennej X do stĺpca A. Do bunky B2 zapíšeme vzorec (a) pre výpočet funkcie a do bunky C2 vzorec (b) pre prvú deriváciu tejto funkcie a napokon do bunky D2 vzorec (c) pre druhú deriváciu:

=$I$2+$J$2*A2+$K$2*A2^2+$L$2*A2^3 (a)
=$J$2+2*A2*$K$2+3*$L$2*A2^2 (b)
=2+6*$L$2*A2 (c)

Funkcia a jej derivácie

Posúvače
Bunky I2, J2, K2, L2 sú zobrazené na obr. 2. Vložte do príslušných stĺpcov (obr. 2) štyri posúvače (scroll bar) , ktorými budeme meniť hodnoty konštánt a, b, c, d . V režime návrhu zadajte v okne properties (vlastnosti) u položky linked cell (prepojená bunka) pre prvý posuvník bunku I2, pre druhý J2, pre tretí K2, a pre štvrtý L2. Vzhľadom k tomu, že do koloniek pre minimum a maximum sa nesmú zadávať záporné hodnoty, treba zostaviť vhodné vzorce, ktoré zadáme do buniek I3, J3, K3, L3 - napr.
Vzorce zostavíme tak, aby nám vyšli nami stanovené rozumné hodnoty menovaných konštánt. V tomto príklade boli zvolené hodnoty pre:

Posúvanímm tiahla na posuvníku meníme hodnoty konštánt a,b,c,d a na grafoch vidíme ako sa mení graf funkcie a graf jej derivácii. Pretože derivácia konštanty je 0, graf prvej a druhej derivácie sa nezmení zmenou a. Na obr.3 je graf funkcie (1), na obr. 4 jej prvá derivácia a na obr.5 jej druhá derivácia.

Graf funkcie
Graf prvej derivácie
Graf druhej derivácie

Aby bol zrejmý geometrický význam derivácie bol zostavený príklad (obr. 6). Uvažujme funkciu (4) a jej deriváciu (5)
Funkcia


Derivácia funkcie


V stĺpci C s označením Yd sú súradnice Y dotyčnice krivky f(X) v bode, ktorý je volený v bunke G3, pričom X-ové súradnice dotyčnice (tečny)sú tie isté ako pre funkciu f(X). X-ovú súradnicu bodu krivky, v ktorom chceme zostrojiť dotyčnicu, meníme pomocou posúvača, ktorý je na obr. 6 umiestnený v stĺpci G. V okne vlastnosti zadáme pre položku linked cell odkaz na bunku G2 , minimálnu hodnotu zadáme 1 a maximálnu 10. Do bunky G3 a F2 zadáme vzorce
=ROUND((G2/10)-1;1). 
=VLOOKUP(G3;A2:E12;4;FALSE).

Funkcia VLOOKUP vyhľadá danú hodnotu v ľavom stĺpci tabuľky (A2:E12) a vráti hodnotu zodpovedajúcej bunky z rovnakého riadka určeného stĺpca (v našom prípade 4). Prvý stĺpec zadanej oblasti musí byť zoradený vzostupne, ak chceme, aby sa našla presne zadaná hodnota. Do bunky F3 natypujeme ten istý vzorec ako do F2, iba stĺpec zmeníme na 5 (=VLOOKUP(G3;A2:E12;5;FALSE) ). Teraz už môžeme posúvačom meniť X-ovú súradnicu bodu, v ktorom chceme zostrojiť dotyčnicu - Y-ová súradnica Yd sa vypočíta na základe vzorca v bunke F3, ktorý nám vráti a (úsek, ktorý vytína dotyčnica na osi Y pri X=0) a pomocou vzorca v bunke F2, ktorý udáva prvú deriváciu, čo je vlastne tangens uhla, ktorý sviera dotyčnica v bode zadanom v bunke G3 s kladným smerom osi X. Do bunky C2 potom zapíšeme vzorec =$F$3+A2*$F$2.. Potiahnutím za uško bunky smerom dole doplníme vzorce do všetkých ostatných buniek.

Príklad


Geometrický význam derivácie

Krivka a dotyčnica

Vzorec
Na obr. 8 je krivka a jej dotyčnica v bode [-1;4] zostrojená podľa údajov na obr.9. Táto dotyčnica vytína na osi Y pri X-ovej súradnici X=0 úsek a (zelená farba). V stĺpci F obr. 9 sú vypočítané Y-ové súradnice dotyčnice v bode [-1;4] podľa vzorca, ktorý si môžete odvodiť podľa obr. 8:
Vzorec kde tgb je derivácia práve v spoločnom bode krivky a dotyčnice. Na obr. 10a a 10b sú zobrazené vzorce pre výpočty. Všimnite si vzorec pre výpočet a (úsek na osi Y ktorý vytína dotyčnica v bode [x,y]) - obecne

Vzorec
Údaje Vzorce1



Vzorce2

Konštanty
Zdroje:
Přehled užité matematiky. SNTL Praha 1968.
Stiahnite si súbor deriv1.zip    Veľkosť: 29 kB
Príklady boli vypracované v Excel 2000 pod OS Windows XP.
Valid HTML 4.01 Transitional
Stránka je v súlade s aktuálnymi normami.



Kontakty
© Klára Mrázová