z5 (16K)

Tento článok získal prvú cenu v súťaži o najlepší článok o histórii matematiky, napísaný študentom Newlyn Walkup -om. Bol sponzorovaný inštitúciou HOMSIGMAA (History of Mathematics Special Interest Group of the Mathematical Association of America - Dejiny matematiky – špeciálna záujmova skupina Jednoty amerických matematikov). Preložila Klára Mrázová
Eratosthenes' Argument (II)
Euclid I-29: A straight line falling on parallel straight lines makes the alternate angles equal to one another […] [9, p.311 ]. Let the angle at the center of the Earth be called angle a. By hypothesis, the angle formed by the shadow in Alexandria is equal to 1/50th of a circle. So the measure of this angle is 360°/50 = 7 1/5°. By Euclid I-29, since the angle in Alexandria and angle a are alternate interior angles, the measure of angle a is also 360°/50 = 7 1/5°.
Eratosthenov dôkaz (II)
Uhol, ktorý sviera polomer Zeme v mieste Alexandrie s rovnobežnou priamkou k priamke spájajúcej stred Zeme a miesto kde leží Syena (7 1/5 °) je rovnaký ako uhol α. Označme uhol medzi dvoma polomermi (obrázok) α. Podľa hypotézy uhol tvorený tieňom v Alexandrii sa rovná 1/50 – tine 360 °, to je 7 1/5° = 7° a 12´. Potom aj uhol α je rovný tej istej hodnte.
eri111 (10K)
eri222 (10K)
eri333 (13K)
Euclid III-27: In equal circles, angles standing on equal circumferences equal one another […] [10, p.58 ]. Some explanation will help to reveal how Euclid III-27 is used in this argument. Given two equal circles γ and δ with centers p and q respectively, if arc AB is equal to arc CD, then angle β is equal to angle α.
Since every circle is equal to itself, by Euclid's 4th common notion, we can apply this proposition to a single circle. Given circle γ, with center p if arc AB is equal to arc CD, then angle β is equal to angle α. As real number values, these can be put into ratio form:

arc CD/arc AB = angle α/angle β

Using this ratio form, Eratosthenes will now use three known values to solve for the unknown fourth value - the circumference of the Earth.

Eratosthenes' Argument (III
Let the arc of the Earth between Alexandria and Syene be called arc AS, and let the full circumference of the Earth be called arc EC. Let the angle at the center of the Earth be called angle α, and let the full 360° of the circle be called angle β.
By Euclid III-27, we have arc EC/arc AS = angle b/angle a. By hypothesis, the length of arc AS is 5000 stades, and angle a is equal to 1/50th of a circle. Since angle b is the angle measure of a complete circle, angle b= 1 circle. Substituting these real number values into the previous ratio, we get: Therefore, since the length of arc EC is equal to the circumference of the Earth, we get that the circumference of the Earth is approximately 250,000 stades.
eri444 (13K)
eri999 (2K)
eri100 (5K)
How Long Is a Stade?
After seeing Eratosthenes' brilliant argument that the Earth's circumference is 250,000 stades, one naturally asks, " What is the length of a stade?" Unfortunately, this question has no simple answer. Without an International Bureau of Standards to ensure consistency of weights and measures throughout the ancient world, it is very likely that measures such as the stade varied slightly from region to region [2, p.46]. Scholars disagree greatly on the extent to which the stade may have varied in the ancient world. Scholar of Greek antiquity Carl Friedrich Lehmann-Haupt claims the existence of at least six different stades [2, p.43 ]. To the contrary, astronomer and historian Dennis Rawlins makes the following claim.
That 1 stade = 185 meters (almost exactly 1/10 nautical mile) is well established. Nonetheless, some scholars are unwilling to believe that Eratosthenes' CE [approximation of the Earth's circumference] could be so far in error as 17% […] [18, p.211 ].
While the assertions of these two men represent the opposing extremes in this debate, there is an array of theories which lie somewhere in between. A common approach to this mystery is to examine the stade's relationship to other ancient units of length. Book Two in The Histories by the ancient historian Herodotus (480-425 BCE) tells us that 1 stade is equal to 600 Greek feet. Like the stade, the Greek foot exhibits some regional variation. However, all instances of the Greek foot appear to conform roughly to one of three basic lengths. To distinguish between these variations, scholar of Greek architecture Burkhardt Wesenberg refers to them as the "Attic" (from Asia Minor and southern Italy), the "Doric" (from Greece and Sicily), and the "Ionic" (used throughout the Greek civilization). Each of these variations of the Greek foot, when multiplied by 600, yields a stade length that corresponds closely to one of the six claimed by Lehmann-Haupt [7, pp.359-360 ]. Such correspondence lends credence to the argument that there was more than one stade used in the ancient world, and furthermore, that one of these stades may have been used by Eratosthenes.

The 185 meter stade, as claimed by Rawlins earlier, is the most commonly accepted value for the length of the stade used by Eratosthenes in his measurements of the Earth. This is so because a great number of authors from the first century CE onward make reference to the fact that 1 Roman mile is equal to 8 stades. History tells us that the Roman mile is equal to 5000 Roman feet, each of which is just short of the familiar English foot. The exact difference between the Roman foot and the English foot is uncertain, but if 1 Roman foot is taken to be approximately 11.65 English inches, then one Roman mile is approximately equal to 1479 meters. Taking 1/8 of this Roman mile gives the length of 1 stade as approximately 184.8 meters. Again, this length corresponds to one of Lehmann-Haupt's six stades. He refers to this most frequently accepted stade as the "Italian" stade [2, pp.42-44 ]. By examining the relationship between the stade, the Greek foot, and the Roman mile, four distinct stade lengths are obtained. Using the names provided by Wesenberg and Lehmann-Haupt, each of the four stades is listed in ascending order along with the corresponding Greek foot.

eri555 (20K)
eri666 (20K)
Using these four stades, modern approximations of Eratosthenes' 250,000 stades can be obtained. Abow, the modern equivalent of 250,000 stades is given for each type of stade. Also given is the percent difference from the modern accepted value for the equatorial circumference of the Earth, which is approximately 40,075 kilometers [21 ].
Eratosthenes' Correction
Most of what is known about Eratosthenes' geometric argument comes from the writings of Cleomedes, in the first century BCE. Eratosthenes' argument, as described by Cleomedes, gives the circumference of the Earth as approximately 250,000 stades. However, most other ancient authors give 252,000 stades as Eratosthenes' value for the circumference of the Earth. Strabo's Geography, written in the late first century BCE, cites Hipparchus as the source of this figure. Another reference to this length appears in a letter written by Heron of Alexandria (ca. 75 CE) in the second century CE [4, pp.60-63 ].
The perimeter [circumference] of the Earth is 252,000 stades, as Eratosthenes, who investigated this question more accurately than others, has shown in the book he wrote "On the Measurement of the Earth" [4, p.63 ].

In light of the many textual references stating 252,000 stades as the circumference given by Eratosthenes, many scholars believe that the addition of 2000 stades was a correction made by Eratosthenes shortly after his original calculation. What could be the reason for Eratosthenes' correction? There are many theories as to why this correction may have been made. Let use examine three prevailing theories.

Adding 40 stades to the original 5000 stades between Alexandria and Syene produces a final result of 252,000 stades, but it is unlikely that this was the correction made by Eratosthenes. As was mentioned earlier, the stretch of land between Alexandria and Syene was measured every year, decade after decade. It is doubtful that one year the measurement would be increased by a full 40 stades (over 7 kilometers).

Similarly, changing the angle formed by the shadow in Alexandria from the original 7 1/5° to 7 1/7°, a decrease of 2/35°, gives a final result of 252,000 stades. This is also unlikely. The best piece of astronomical equipment available at the time was the scaphe, which is basically a sundial [5, p.153]. It is doubtful that even the most precise scaphe was precise enough distinguish between 7 1/5° and 7 1/7° [6, p.412 ].

It may be that the correction was not due to an improved measurement, but instead to simplify future calculations involving the result. Some scholars believe that Eratosthenes added 2000 stades simply to make the final figure divisible by 60. Recalling that Eratosthenes divided the circle into 60 parts called hexacontades; dividing 250,000 stades by 60 results in approximately 4166.7 stades per hexacontade, whereas dividing 252,000 by 60 results in a round 4200 stades per hexacontade [5, p.154]. This reason seems far more likely. Today, altering measurements in order to obtain a simple result is considered highly unscientific, but in the ancient world practicality often took priority over accuracy [2, p.45 ].

Having established that Eratosthenes probably gave 252,000 stades as his best approximation of the Earth's circumference, and given four stade lengths which might represent reasonable approximations of the stade used by Eratosthenes, it is now possible to obtain some modern equivalents to Eratosthenes' approximation. Below is a table listing four approximations of the Earth's circumference by Eratosthenes' method, using each of the four previously mentioned types of stade.

V rovnakých kružniciach, uhly vymedzené rovnakými oblúkmi sa rovnajú. Ukážeme, ako to Eratosthenes dokázal. Majme dve rovnaké kružnice γ a δ so stredom p resp. q. Ak oblúk AB sa rovná oblúku CD, potom uhol β sa rovná uhlu α. Keďže každá kružnica je totožná sama so sebou, podľa Euklidovej obecnej predstavy môžeme aplikovať toto tvrdenie na jedinú kružnicu. Majme danú kružnicu γ so stredom p. Ak oblúk AB sa rovná oblúku CD potom uhol β sa rovná uhlu α. Pretože ide o reálne čísla, môžeme to upraviť do tvaru:

oblúk CD/oblúk AB = α/β

Použijúc túto úmeru Eratosthenes na základe troch známych hodnôt vypočíta neznámu štvrtú hodnotu- obvod Zeme.

Eratosthenov dôkaz (III)
Oblúk medzi Alexandriou a Syenou označme AS a obvod Zeme oz-načme EC. Príslušný uhol k oblúku AS označme α a plný uhol 360 ° označme β. Podľa Euklida máme: oblúk EC/oblúk AS=uhol β/uhol α Podľa Euklida máme: oblúk EC/oblúk AS=uhol β/uhol α Podľa hypotézy dĺžka oblúku AS je 5000 štádií a uhol α sa rovná 1/50 - tina z 360 °. Pretože uhol β je vlastne uhol kružnice, označíme uhol β=360°. Ak dosadíme tieto hodnoty do predchádzajúcej úmery dostávame:

Pretože dĺžka oblúka EC je rovna obvodu Zeme, dostávame, že obvod Zeme je 250000 štádií.
Ako dlhé je štádium?
Keď čítame Eratosthenov skvelý dôkaz, že obvod Zeme je 250 000 štádií, samozrejme sa opýtame, aká je dĺžka štádia? Nanešťastie, na túto otázku nenachádzame jednoduchú odpoveď. Keďže v staroveku neexistovala žiadna inštitúcia podobná Medzinárodnému úradu pre miery a váhy (v súčasnosti v Sevres vo Francúzsku) pre zabezpečenie zhody váhy a mier v celom antickom svete, je veľmi pravdepodobné že dĺžka štádia sa nepatrne menila z oblasti na oblasť. Učenci sa však nezhodujú na rozsahu rozdielov. Učenec Carl Friedrich Lehmann-Haupt (nemecký orientalista, historik a archeológ) tvrdí, že existovalo najmenej šesť rôznych štádií. Naopak, astronóm a historik Dennis Rawlins tvrdí nasledovné:
Že 1 štádium = 185 m (skoro presne 1/10 námornej míle) je potvrdená. Napriek tomu, niektorí učenci neveria, že Eratosthen-ova aproximácia dĺžky obvodu Zeme by mohla dosahovať až tak veľkej chyby ako 17%.
      Kým tvrdenia týchto dvoch učencov reprezentujú opačné extrémy, existuje celá rada teórií, podľa ktorých dĺžka štádia sa nachádza niekde medzi týmito dvoma hodnotami. Bežný prístup k riešeniu tejto záhady je vyšetrenie aký má dĺžka štádia vzťah k iným antickým jednotkám dĺžky.
      V knihe Dve, antického historika Herodota (480 - 425 p.n.l.) Dejiny, sa hovorí, že 1 štádium sa rovná 600 gréckym stopám (feet). Podobne ako štádium preukazuje grécka stopa regionálne variácie. Ale všetky dĺžky gréckej stopy spadajú zhruba do jednej z nasledovných základných dĺžok. Aby sa rozlíšili tieto obmeny, učenec, zaoberajúci sa gréckou architektúrou Burkhardt Wesenberg, odvoláva sa na nich ako "attická" (Malá Ázia a južná Itália), "dórska" (grécko a Sicília) a "Ionská" (používaná v oblastiach gréckej civilizácie.) Každá z týchto gréckych stôp, ak sa vynásobí 600, dáva dĺžku štádia zodpovedajúcu veľmi dobre jednej zo šiestich možností uvádzaných Lehmann-Haupt - om. Táto zhoda poskytuje dôveryhodnosť tvrdeniu, že v antickom svete sa užívalo viac rozdielných štádií a že jedno z nich mohlo byť používané Eratosthen-om.

Dĺžka štádia, rovnajúca sa 180 m, ako uviedol Rawlins už predtým je najbežnejšie príjatá hodnota dĺžky štádia, ktorú používal Eratosthenes pri svojich meraniach Zeme. Mnoho autorov počínajúc od prvého storočia p.n.l. sa odvoláva na fakt, že 1 rímska míla sa rovná 8 štádiam. Z historických údajov vieme, že , že rímska míla sa rovná 5000 rímskym stopám, pričom rímska stopa je kratšia od anglickej stopy. Presný rozdiel medzi rímskou a anglickou stopou je neistý, ale ak by bola 1 rímska stopa rovná približne 11,65 anglickým palcom, potom by bola 1 rímska míla rovmá probližne 1479 m. Dĺžku štádia dostávame ak vydelíme rímsku mílu číslom 8, teda 184,5 m. Toto číslo zas korešponduje jednému zo 6-tich štádií uvádzaných Lehmann-Haupt - om. Ak zisťujeme vzťah medzi šádiom, gréckou stopou a rímskou mílou dostávame 4 štádia rôznej dĺžky uvedených vo vzostupnom poriadku spolu s odpovedajúcou gréckou stopou.

Ak použijeme tieto 4 štádia, môžeme určiť modernú aproximáciu hodnoty 250 tisíc štádii udávaných Eratosthenom. V tabuľke vyššie je zobrazený moderný ekvivalent hodnoty 250 000 štádií pre každý typ štádia. Tiež je udané percento rozdielu od súčasne určenej hodnoty rovníkového obvodu Zeme, t.j. 40 075 km.

Eratosthenova korekcia
Väčšina, čo je známe z Eratosthenovho geometrického dôkazu pochádza zo spisov Cleomedesa (Dátum narodenia a smrti nie je známy - historici sa domnievajú, že svoju prácu (astronómia) napísal niekedy medzi stredom prvého stotočia p.n.l. a štvrtého storočia n.l.). Eratosthenov dôkaz, ako ho popisuje Cleomedes udáva dĺžku obvodu Zeme približne 250 000 štádií. Ale mnohí iní antickí autori udávajú hodnotu obvodu Zeme určenú Eratosthenom ako 252 000 štádií. Geografia Strabo-a napísaná v druhej polovici prvého storočia pred našim letopočtom, cituje Hipparcha, ako zdroj tejto hodnoty obvodu Zeme. Iný odkaz na túto dĺžku je v liste Herona z Alexandrie (10 - 70 n.l.).
Citácia: Obvod Zeme je 252 000 štádií, ako to určil Eratosthenes, ktorý skúmal túto otázku oveľa presnejšie ako iní, vo svojej knihe "O meraní Zeme".

Vo svetle mnohých odkazov na texty, ktoré udávajú Eratosthenovu hodnotu obvodu Zeme 252 000 štádií, mnohí učenci sa domnievajú, že korekciu plus 2000 štádií, Eratosthenes urobil krátko po svojom pôvodnom výpočte. Čo môže byť príčinou Eratosthenovej korekcie? Existuje mnoho teórií prečo Erato-sthenes vykonal túto opravu. Preskúmajme tri prevažujúce teórie.

Ak pridáme 40 štádií k pôvodne udávaným 5000 štádiam medzi Alexandriou a Syenou, dostávame konečný výsledok 252 000 štádií, ale je to nepravdepodobné, že toto bola oprava vykonaná Eratosthenom. Ako sme sa zmienili už skôr, úsek krajiny medzi Alexandriou a Syenou bol meraný každý rok. Je nepravdepodobné, že jeden rok by meranie činilo o 40 štádií viac (viac ako 7 km).

Podobne, ak zmeníme uhol medzi gnómonom a tieňom v Alexandrii z pôvodných 7 1/5° na 7 1/7 °, pokles 2/35° dáva konečný výsledok 252 000 štádií. Je to tiež nepravdepodobné. Najlepší astronomický prístroj, ktorý bol k dispozícii v tých časoch bol "scarp", čo boli v podstate slnečne hodiny. Je pochybné, či aj ten najpresnejší "scarp" bol tak presný, aby bolo možné rozlíšiť medzi 7 1/5 ° a 7 1/7 °.

Je však možné, že oprava nebola urobená z dôvodu presnejšieho merania, ale preto, aby sa zjednodušili ďalšie výpočty vrátane výsledku. Niektorí učenci sa domnievajú, že Eratosthenes pridal 2000 štádií jednoducho preto, aby výsledok bol delitelný 60-mi. Ako sme už uviedli, Eratosthenes rozdelil kruh na 60 častí, ktoré sa volali "haxacontády". Ak delíme 250 000 60-mi, dostávame približne 4166,7 štádií na jednu hexacontádu, kým ak delíme 252 000 60-mi , dostávame celé číslo, 4200 štádií na jednu hexacontádu. Toto sa zdá najpravdepodobnejšou príčinou. V súčasnosti, meniť merania s cieľom získať jednoduchší výsledok sa považuje za krajne nevedecké, ale v antickom svete dosť často prevažovala takáto zmena nad presnosťou.

Keďže sme potvrdili, že Eratosthenes pravdepodobne udával 252 000 štádií ako najlepšie priblíženie dĺžky zemského obvodu, ak uvážime 4 dĺžky štádia, ktoré môžu odôvodnene reprezentovať aproximácie dĺžky štádia použitého Eratosthenom, môžeme obdržať určité moderné ekvivalenty Eratosthenovým aproximáciám. Nižšie uvádzame tabuľku, v ktorej sú uvedené 4 aproximácie obvodu Zeme, podľa Eratosthenovej metódy za použitia všetkých 4 spomínaných typov štádia.
Hippar (5K)
eri888 (22K)
strabo (5K)
Ako zobrazujú tieto výsledky presnosť Eratosthenových meraní obvodu Zeme? Podľa dnešných kritérií percento chyby Eratosthenových meraní sa zdá byť vysoké. Ale v dobe antického Grécka, Eratosthenova aproximácia dĺžky obvodu Zeme je mimoriadne presná. Kým niektorí novodobí učenci sa držia teórií, ktoré zdá sa naznačujú že Eratosthenova aproximácia bola vysoko presná, iní obdivujú Eratosthenovu aproximáciu výlučne z dôvodu fundovanosti jeho odôvodnení a elegancie jeho dôkazov. Matematička a geodetička pani Irena Fischer, ktorá svojimi prácami prispela k moderným meraniam Zeme, píše s veľkým obdivom o Eratosthenovej metóde.
... významná pre nás - čo sa týka Eratosthenovho výkonu bola metóda, zavedenie dôkladných meraní miesto špekulácií a nie presné číslo pre dĺžku obvodu Zeme. Nebolo by spravodlivé porovnávať presnosť antických meraní - i keď mohli byť pokročilé a dostatočné v tej dobe, s presnosťou modernej triangulácie, astronómie a satelitnej geodézie.
Je sice na jednej strane pravda, že starovekí učenci nemali sofistikované vedecké prístroje, potrebné pre vykonanie presných meraní, tiež si treba uvedomiť, že nekládli rovnaký dôraz na presnosť, ako je tomu dnes. Preto predpoklad, že výsledok merania daný starovekým učencom je to najpresnejšie meranie, ktoré sa dalo dosiahnúť v tej dobe, nie je spoľahlivý predpoklad. Tiež nie je správne predpokladať, že učenec v staroveku mal na mysli rovnako prísne vedecké myšlieny ako je tomu dnes. D. R. Dicks - vedec zaoberajúci sa astronómiou v staroveku poznamenáva, že je márne pokúšať sa určiť presnosť antických vedeckých prác.

Grécka mentalita nemôže byť posudzovaná korektne z hľadiska moderného vedca, a každý pokus vnútiť falošnú presnosť meraniam v staroveku a interpretovať ich modernými matematickými ekvivalentmi vedie nutne k zavádzajúcim výsledkom.

Takto špecifiká Eratosthenových meraní nás môžu zavádzať, lebo Eratosthenes nemal na mysli žiadne špecifiká, keď robil svoje výpočty. Eratosthenova aproximácia dĺžky obvodu Zeme je krásny matematický dôkaz, bez ohľadu na presnosť výsledku. Moderný ekvivalent štádiu, ktorý použil Eratosthenes možná nebude nikdy známy, práve tak, ako príčina pridania 2000 štádií. Napriek tomu, Eratosthenes pomohol položiť základy vedy založenej na matematike a empirických pozorovaniach, miesto vedy založenej jedine na filozofických špekuláciach. Čo je najdôležitejšie, Eratosthenes ukázal úchvatnú moc matematiky ako nástroja modelovania nášho sveta.
How do these results reflect upon the accuracy of Eratosthenes' measurement of the Earth's circumference? By today's standards, these error percentages may seem high. However, for the ancient Greeks, the approximation is remarkably close. While some modern scholars cling to theories which seem to indicate that Eratosthenes' approximation was highly accurate, others admire his approximation solely on the soundness of his reasoning and elegance of his argument. Mathematician Irene Fischer, having worked on modern measurements of the Earth, writes with great admiration of Eratosthenes' method.
[…] the great thing for us about Eratosthenes' achievement was the method, the introduction of painstaking measurements instead of speculations, and not a specific number for the size of the Earth. It would not be fair to compare the ancient measuring precision, as advanced and sufficient as it may have been for that time, with modern precision in triangulation, astronomy, and satellite geodesy [5, p.159 ].
While it is true that ancient scientists lacked the sophisticated scientific equipment necessary to make precise measurements, it is also necessary to realize that they did not place the same emphasis on precision that we do today. Therefore, assuming that a figure given by an ancient scientist is the most accurate measurement available at that time is not a safe assumption. Nor is it safe to assume that the ancient scientist holds in mind the same rigorously scientific ideals that scientists do today. Scholar of ancient astronomy D.R. Dicks comments on the futility of trying to determine the accuracy of ancient scientific works.
The Greek mentality cannot be judged correctly from the standpoint of the modern scientist, and any attempt to force a spurious accuracy on to ancient measurements and translate them into mathematically exact modern equivalents is bound to have misleading results [2, pp.43-45 ].
Thus the specifics of Eratosthenes' measurement may elude us simply because Eratosthenes did not have specifics in mind when he conducted this calculation. Eratosthenes' approximation of the Earth's circumference is a beautiful mathematical argument, regardless of the accuracy of its result. The modern length equivalent to the stade used by Eratosthenes may never be known, just as the reason for the addition of 2000 stades may never be discovered. Nonetheless, Eratosthenes helped to lay the foundation for science based on mathematics and empirical observation rather than on mere philosophical speculation. Most importantly, he demonstrated the awesome power of mathematics as a tool to model our world.
Výuka latinčiny

Stránka je v súlade s aktuálnymi normami.

Valid HTML 4.01 Transitional


©  Klára Mrázová