popi (13K)

Tento článok získal prvú cenu v súťaži o najlepší článok o histórii matematiky, napísaný študentom Newlyn Walkup-om. Bol sponzorovaný inštitúciou HOMSIGMAA (History of Mathematics Special Interest Group of the Mathematical Association of America - Dejiny matematiky – špeciálna záujmova skupina Jednoty amerických matematikov). Preložila Klára Mrázová

Angle between shadow and staff in Alexandria

That the angle formed by the shadow and the staff in Alexandria at the summer solstice is equal to 1/50th of a circle [6, p.411 ].This assumption states that the angle formed by the shadow cast by the staff in Alexandria is "1/50th of a circle", meaning 1/50th of 360° degrees, or 7 1/5 °= 7° 12'. Although it was used by Babylonian civilizations as early as the fifth century BCE, division of a circle into the familiar 360 degrees was not introduced to Greek science until the second century BCE by Hipparchus of Rhodes (190-120 BCE) [2, p.149]. The system of angle measure used by Eratosthenes divided the circle into 60 parts, each called a hexacontade. As will be seen, this system provides one of the most compelling arguments as to the source of the additional 2000 stades. There is no way to know if Eratosthenes made this measurement himself, but many scholars argue that he probably did measure this angle using a hemispherical sundial, known as a scaphe, which was the best astronomical instrument of the day [5, pp.153-154].Then based on his own observation, Eratosthenes is justified in assuming that the angle formed by the shadow in Alexandria is 1/50th of a circle.

The Earth is a Sphere

That the Earth is a sphere. At a time when not everyone believed so, Eratosthenes clearly had no doubt that the Earth is a sphere [3, p.116]. Many early Greek philosophers held that the Earth was a disc or a cylinder. The idea of a spherical Earth was first suggested by Pythagoras of Samos (580-500 BCE), about 300 years before Eratosthenes [20, p.1]. The spherical Earth model did not begin to gain widespread acceptance among scholars until the well reasoned arguments of Aristotle (384-322 BCE), only about 100 years before Eratosthenes [4, p.59]. Around the time of Eratosthenes, the globe was becoming a popular model of the Earth as many Greek scholars came to accept the idea of a spherical Earth [20, pp.2 ]. As it was the prevailing belief in the scientific community at the time, Eratosthenes is justified in making the implicit assumption that the Earth is a sphere.

Eratosthenes' Argument

Eratosthenes uses these five main assumptions as hypotheses for his famous geometric approximation of the Earth's circumference. His approximation would not be surpassed for centuries to come. The method devised by Eratosthenes is the basis for the complex "astrogeodetic method" which is used to measure the Earth today [5, p.153 ]. His elegant geometric argument, illustrated below, is sound and simple.

Uhol medzi tieňom a gnómon-om v Alexandrii

Uhol, tvorený tieňom kolmo umiestnenej tyče (gnómon) v Alexandrii v deň letného slnovratu sa rovná 1/50 kruhu (7,2 °).Tento predpoklad konštatuje, že uhol tvorený medzi gnómonom a ním vrhaným tieňom v Alexandrii je 1/50 kruhu, čo znamená 1/50 - tinu z 360 °, teda 7° a 12 ´. I keď rozdelenie kruhu na 360 ° bolo používané babylonskou civilizáciou už v 5 storočí p.n.l., gréci toto nepoužívali až do 2. storočia p.n.l., keď toto delenie začal používať Hipparchus z Rhodosu (190-120 BCE). Eratosthenes používal delenie kruhu na 60 častí, pomenovaných hexacontade. Ako ukážeme v ďalšom, tento systém poskytuje najpôsobivejší dôvod, týkajúci sa zdroja dodatočne pridaných 2000 štádií Eratosthenom k obvodu Zeme.Nie je možné zistiť, či Eratosthenes vykonal toto meranie osobne. Mnohí učenci však tvrdia, že toto meranie vykonal Eratosthenes pomocou pologuľových slnečných hodín, zvaných ako scaphe . Bol to najlepší astronomický prístroj tej doby. Eratosthenes je teda oprávnený na základe svojich vlastných pozorovaní určiť uhol tieňa na 1/50 -tinu kruhu.

gn1 (3K)
gn4 (4K)
gn3 (3K)
gn5 (3K)
gn6 (2K)
ero1 (4K)
Zem má tvar gule

Zem má tvar gule. V dobe, keď nie každý veril, že Zem má tvar gule, Eratosthenes vôbec nemal pochybnosti o gulovom tvare Zeme. Mnohí starší gréckí filozofi mienili, že Zem je disk alebo válec. Myšlienka guľového tvaru Zeme bola prvý krát vyslovená Pythagorasom zo Samosu, asi 300 rokov pre Eratosthenom. Sférický model Zeme nezískal širšie príjatie medzi učencami až kým Aristoteles (384-322 BCE) to veľmi dobre neodôvodnil iba 100 rokov pred Eratosthenom. V dobe Eratosthenovej sféra sa stala populárnym modelom pretože mnoho gréckych učencov začala prijímať myšlienku sférického modelu Zeme. Nakoľko to bol prevládajúci názor medzi učencami, Eratosthenes odôvodnene predpokladal sférický tvar Zeme.



Eratosthenov dôkaz

Eratosthenes používa týchto päť hlavných predpokladov pre hypotézu svojej slávnej geometrickej aproximácie obvodu Zeme. Jeho aproximácia nebola predstihnutá počas mnohých ďalších storočí. Metóda, ktorú Eratosthenes navrhol je základom pre komplexnú "astrogeodetickú metódu", ktorá sa používa pre merania Zeme aj dnes. Jeho elegantný geometrický dôkaz, ilustrovaný nižšie, je rozumný a jednoduchý

ericek (11K)
ericek1 (21K)
Claim: The circumference of the Earth is approximately 250,000 stades.
Proof:
Given:
1.  That Alexandria and Syene lie on the same meridian.
2.  That light rays from the Sun which strike the Earth are parallel.
3.  That the distance between Alexandria and Syene is 5000 stades.
4.  That the angle formed by the shadow and the staff in Alexandria at the summer solstice is equal to 1/50th of a circle.
5.  That the Earth is a sphere.

      By construction, the staff in Alexandria is perpendicular to the ground, so in the plane of the meridian it is orthogonal to the cross-sectional circle of the Earth. By definition of orthogonal, the staff in Alexandria is perpendicular to a line m which is tangent to the Earth at the base of the staff. Likewise, the staff in Syene is perpendicular to a line n tangent to the Earth at the staff's base.        Euclid III-19: If a straight line touches a circle, and from the point of contact a straight line is drawn at right angles to the tangent, the center of the circle will be on the straight line so drawn [10, p.45 ].
      Therefore, since the staffs are perpendicular to tangents m and n, if the staffs are extended toward the Earth, their lines intersect at the center of the Earth. By hypothesis, the light rays striking the Earth are parallel. Since the staff in Syene casts no shadow, no angle is formed by the intersection of the light rays and the staff, thus the line of the staff is parallel to the light rays.
Konštatovanie:
Obvod Zeme je približne 250 000 štádií
Dôkaz:
Máme dané:
1.  Alexandria a Syena ležia na rovnakom poludníku
2.  Slnečné lúče dopadajúce na Zem sú rovnobežné
3.  Vzdialenosť Alexandria – Syena je 5000 štádií
4.  Uhol medzi gnómonom a tieňom v Alexandrii v deň slnovratu je 1/50 z 360 °
5.  Zem je sférická

      Gnómon v Alexandrii (aj v Syene) je kolmý na Zem, takže v rovine poludníka je kolmý na priečnu kružnicu Zeme. Gnómon v Alexandrii je kolmý na priamku m (pozri obrázok), ktorá je dotyčnicou Zeme v bode, v ktorom je vztýčený gnómon. Podobne je gnómon v Syene kolmý na priamku n, ktorá je dotyčnicou Zeme v lokalite gnómona. Ak priamka n sa dotýka kružnice a z bodu dotyku vedieme priamku pod 90 ° uhlom k dotyčnici, stred kružnice bude na tejto priamke. Ak priamka n sa dotýka kružnice a z bodu dotyku vedieme priamku pod 90 ° uhlom k dotyčnici, stred kružnice bude na tejto priamke. Pretože gnómon je kolmý na dotyčnicu m, a druhý gnómon zas kolmý na dotyčnicu n, ak sa oba gnómony predĺžia smerom do vnútra Zeme, ich priamky sa pretnú v strede Zeme. Pretože gnómon je kolmý na dotyčnicu m, a druhý gnómon zas kolmý na dotyčnicu n , ak sa oba gnómony predĺžia smerom do vnútra Zeme, ich priamky sa pretnú v strede Zeme. Podľa hypotézy svetelné lúče, dopadajúce na Zem sú rovnobežné. Pretože gnómon v Syene nevrhá tieň, to znamená, že slnečné lúče sú rovnobežné s tyčou, tvoriacou gnómon.
Výuka latinčiny

Stránka je v súlade s aktuálnymi normami.

Valid HTML 4.01 Transitional



Domov

©  Klára Mrázová