Domenico (379K)
zhd1 (22K)
zhd2 (8K)
zhd3 (18K)
Preložila Klára Mrázová

Tento článok získal prvú cenu v súťaži o najlepší článok o histórii matematiky, napísaný študentom Newlyn Walkup-om. Bol sponzorovaný inštitúciou HOMSIGMAA (History of Mathematics Special Interest Group of the Mathematical Association of America - Dejiny matematiky – špeciálna záujmova skupina Jednoty amerických matematikov).

That light rays from the Sun which strike the Earth are parallel.

In fact, this assumption is incorrect. Sunrays striking the Earth are not parallel. How did Eratosthenes justify such a claim? Just years earlier a man named Aristarchus of Samos (310-230 BCE) produced a work entitled On the Sizes and Distances of the Sun and Moon. This masterpiece of ancient astronomy contains an elaborate geometric proof which asserts that the distance from the Earth to the Sun is approximately equal to 180 Earth diameters. Furthermore, he reasoned that the Sun's diameter is approximately 6 3/4 times that of the Earth. Actually, the Sun is almost 1200 Earth diameters from the Earth, and the Sun's diameter is around 109 times the Earth's, but the idea is the same - the Sun is much larger than the Earth, and light rays from the Sun travel a great distance to the Earth [8, pp.350-352 ].

zhd5 (42K)
zhd6 (35K)
zhd7 (14K)
zhd8 (16K)

The shaded regions represent the difference between the assumed parallel sunrays and actual nonparallel sunrays. Using Aristarchus' measurements and some modern mathematics, we can judge the significance of this difference. Consider one of the shaded regions.

Notice that the shaded region is a right triangle. Angle β, at the farthest vertex of the triangle, is the angular difference between the actual sunrays and the assumed parallel sunrays. Using the information provided by Aristarchus, angle β can be approximated. According to Aristarchus, the distance to the Sun is equal to 180 Earth diameters. So the length of the shaded triangle is 180 Earth diameters. Aristarchus also tells us that the Sun's diameter is equal to 6 3/4 Earth diameters. Subtracting one Earth diameter from the center of the Sun's diameter gives us 5 3/4. Dividing by 2, we find that each shaded triangle has a height of (1/2)(5 3/4) = 23/8 Earth diameters.

Using modern trigonometry, we get Tan β = [(23/8) Earth diameters]/ 180 Earth diameters; so β = Tan-1(23/1440), or β is approximately 0.915 degrees.

At the time of Aristarchus and Eratosthenes, the instruments used to make angular measurements were so crude that an error of less than a degree was negligible [4, p.57]. Of course, Aristarchus and Eratosthenes did not have the benefit of our modern trigonometry, but using the Euclidean geometry available to them they were able to recognize that the small angular difference was relatively insignificant [5, p.154 ]. With this idea in mind, Eratosthenes is justified in making the assumption that sunrays striking the Earth are parallel.

Distance from Alexandria to Syene

That the distance between Alexandria and Syene is 5000 stades. There is little doubt that Eratosthenes got this figure directly from his earlier map of the known world [4, p.62]. How he initially obtained this value is a controversial question which may never be answered, but it is doubtful that Eratosthenes actually measured the distance himself [5, p.154 ]. The writings of Strabo the Geographer (ca. 20 BCE) suggest that the lands along the Nile were measured every year.

In Egypt, the Nile passes in a straight line from the little cataract above Syene and Elephantine, at the boundary of Egypt and Ethiopia, to the sea. The country was divided into nomes [provinces], which were subdivided into sections […] There was need of this accurate and minute division because of the continuous confusion of the boundaries caused by the Nile at the time of its increases [flooding], since the Nile takes away and adds soil, and changes conformations of land, and in general hides from view the signs by which one's own land is distinguished from that of another. Of necessity, therefore, the lands must be re-measured again and again. And here it was, they say, that the science of land-measuring originated [5, p.152 ].

The Nile flooded regularly every year, changing the landscape around it, so every year there were disputes between landowners over property lines. Thus, the lands around the Nile had to be re-surveyed each year after the flood. Long distances were measured by professional distance walkers, called bematists, who walked at a very regular pace and counted each step. Shorter distances were measured with lengths of knotted rope by men called harpedonaptai, which means "rope stretchers" [4, pp.56-58]. Knowing that Alexandria and Syene are both located on the Nile, Eratosthenes could have calculated the distance by compiling the yearly measurements of the land between the two cities [5, p.153]. The fact that 5000 stades is a round number might suggest that it was the traditionally accepted figure for the distance between the cities, established well before the time of Eratosthenes [6, p.411 ]. Whatever his reasoning, as the foremost authority on geography in the ancient world, Eratosthenes is justified in assuming that the distance between Alexandria and Syene is 5000 stades.

Slnečné lúče dopadajúce na Zem sú rovnobežné


V skutočnosti tento predpoklad je nesprávny. Slnečné lúče, dopadajúce na Zem nie sú rovnobežné. Ako odôvodnil Eratosthenes toto tvrdenie? Iba pred niekoľkými rokmi, muž menom Aristarchus zo Samosu (310 - 230 p.n.l.) napísal prácu s titulom Rozmery a vzdialenosti Slnka Mesiaca. Toto majstrovské dielo antickej astronómie obsahuje vypracovaný geometrický dôkaz že vzdialenosť Slnko Zem je približne 180 zemských priemerov. Ďale tvrdil, že priemer Slnka je približne 6,75 krát väčší ako priemer Zeme. V skutočnosti Slnko je vzdialené od Zeme 1200 zemských priemerov a priemer Slnka je približne 109 krát väčší ako priemer Zeme - ale tu ide o ideu - že Slnko je oveľa väčšie ako Zem a svetelné lúče zo Slnka sa šíria z veľkej vzdialenosti.

Šedé oblasti znázoroujú rozdiel medzi predpokladom rovnobežných slnečných lúčov a medzi skutočnými rôznobežnými slnečnými lúčmi. Použitím Aristarchových meraní a trochu modernej matematiky môžeme posúdiť význam tohto rozdielu.

Všimnite si, že šedá oblasť je pravouhlý trojuholník. Uhol β (obrázok) je rozdiel uhlu medzi skutočne dopadajúcimi lúčmi a medzi predpokladanými rovnobežnými slnečnými lúčmi. Za použitia informácií poskytnutých Aristarchom, uhol β môžeme aproximovať. Podľa Aristarcha vzdialenosť Zeme od Slnka je 180 zemských priemerov. Teda dĺžka strany šedého trojuholníka je 180 zemských priemerov. Aristarchos tiež uvádza, že priemer Slnka je 6 3/4 zemských priemerov. Po odpočítaní priemeru Zeme od priemeru Slnka dostávame hodnotu 5 3/4. Po rozdelení dvoma máme výšku šedého trojuholníka: (1/2)(5 3/4) = 23/8 priemeru Zeme.

Označme si priemer Zeme z. Použitím modernej trigonometrie dostávame tan(β)=(23*z/8)/(180*z) = 23/(8*180)= 0.015972 radiánov a teda uhol β=0,915 °(približne).

V dobe keď žil Aristarchos a Eratosthenes, prístroje, ktorými robili merania uhlov boly veľmi nedokonalé, takže chyba menšia ko 1 ° bola zenedbateľná. Samozrejem Aristarchos a Eratosthenes nemali výhodu našej modernej trigonometrie, ale za použitia Euklidovskej geometrie ktorou disponovali, boli schopní poznať, že malý uhlový rozdiel relativne nie je dôležitý. Ak toto budeme mať na mysli, uznáme, že Eratosthenov predpoklad že slnečné lúče dopadajúce na Zem sú rovnobežné, bol opodstatnený.


Vzdialenosť Alexandria - Syena

Že vzdialenosť medzi Alexandriou a Syenou je 5000 štádií. Zdá sa pravdepodobné, že Eratosthenes vzal túto hodnotu priamo zo svojej skoršej mapy. Ako však pôvodne zistil túto hodnotu je sporná otázka, ktorá asi nikdy nebude zodpovedaná. Pochybuje sa aj, že Eratosthenes skutočne meral túto vzdialenosť osobne. Spisy Strabo-a (geografa cca 20 p.n.l.) naznačujú, že zeme pozdĺž Nílu boli merané každý rok.

V Egypte prechádza Níl pozdĺž priamej línie od prvého vodopádu nad Syenou a ostrovom Elephantine na hranici Egypta a Etiópie do mora. Krajina bola rozdelená na provincie ( nom jednotka administratívneho rozdelenia starovekého Egypta) ktoré boli delené ešte na menšie jednotky. Vyvstala potreba presného a podrobného rozdelenia vzhľadom na záplavy Nilu, keď bolo nutne stále obnovovať výmery vlastníctva, pretože Níl odnáša a prináša pôdu a mení štruktúru pôdy a obyčajne zmyznú značky oddeľujúce pôdu jednotlivých vlastníkov. Z týchto dôvodov sa musia merania neustále opakovať. A tu boli položené základy vied geodézie a kartografie.

Záplavy Nílu boli pravidelné každý rok, meniac terén okolo rieky a tak dochádzalo k sporom majiteľov pôdy týkajúcej sa výmery pozemkov. Preto pozemky okolo Nílu museli byť po záplavách znovu vymeriavané. Dlhé vzdialenosti boli merané profesionálnymi krokovačmi, ktorí mali veľmi pravidelný krok a počítali každý krok. Kratšie vzdialenosti boli merané pomocou povrazov s uzlami, vykonávali to tkzv. harpedonaptai - čiže napínači povrazov. Keďže Alexandria a Syena ležia pri brehu Nílu, Eratosthenes mohol vypočítať vzdialenosť týchto dvoch miest na základe ročných meraní pozemkov medzi týmito mestami. Skutočnosť, že 5000 štádií je zaokrúhlené číslo, možno predpokladať, že to bola tradične akceptovaná vzdialenosť týchto dvoch miest, platná dávno pred dobou v ktorej Eratosthenes žil. Nech už sú Eratosthenove dôvody akékoľvek, ako najvyššia autorita geografie antiky, Eratosthenes je oprávneý brať vzdialenosť Alexandrie od Syeny za 5000 štádií.

nil (114K)
egypt2 (106K)
Alexandria (42K)
Výuka latinčiny

Stránka je v súlade s aktuálnymi normami.

Valid HTML 4.01 Transitional



Domov

©  Klára Mrázová