syena (16K)
eri (8K)
mer1 (42K)
zemi (5K)
zstd (14K)
Tento článok získal prvú cenu v súťaži o najlepší článok o histórii matematiky, napísaný študentom. Bol sponzorovaný inštitúciou HOMSIGMAA (History of Mathematics Special Interest Group of the Mathematical Association of America - Dejiny matematiky – špeciálna záujmova skupina Jednoty amerických matematikov).

Eratosthenes and the Mystery of the Stades

Newlyn Walkup

In the third century BCE, the brilliant librarian Eratosthenes of Cyrene (276-195 BCE) devised an ingenious method by which to measure the circumference of the Earth. Using geometry and the Sun, Eratosthenes accomplished the impossible. Although his original works have long since been lost, the legendary story has been retold for over two thousand years. Like all legends it has become difficult to sort the fact from the fiction. Some scholars claim that Eratosthenes' approximated the size of the Earth to within 2% of its actual value; while others believe that the accuracy of his measurement is greatly exaggerated. The key to this ancient riddle is the not-so-standard ancient unit of length - the stade. There is a great deal of uncertainty as to the actual length of the stade Eratosthenes used. It is also uncertain whether he made the measurements used in the calculation, or if he relied on the information of others. Perhaps the most puzzling question is why Eratosthenes inexplicably added 2000 stades to his original figure for the Earth's circumference. The mystery is one that drives scholars even today.

Eratosthenes was a man of great distinction among scholars in the ancient world. He was a good friend of the famous Greek scholar Archimedes of Syracuse (287-212 BCE). In fact one of Archimedes greatest works, The Method, was dedicated to Eratosthenes [12, p.104 ].

I sent you on a former occasion some of the theorems discovered by me, merely by writing out the enunciations and inviting you to discover the proofs, which at the moment I did not give. […] The proofs then of these theorems I have now sent to you. Seeing moreover in you, as I say, an earnest student, a man of considerable eminence in philosophy, and an admirer […] [13, pp.12-13 ]

Because Eratosthenes was highly knowledgeable in all branches of study, yet he was not the "Alpha" (the greatest) in any one branch, his peers gave him the nickname "Beta" [12, p.104]. Eratosthenes received the equivalent of a college education in Athens and then went to the Egyptian city of Alexandria [1, p.388]. Attracting scholars and students from all over the ancient world, the great library in Alexandria became the center of scholastic achievement. It is written that the library contained over 500,000 scrolls [15, p.59]. Around 235 BCE, Eratosthenes was appointed head librarian of the library in Alexandria [1, p.388 ]. It was during this period that Eratosthenes would devise his method to approximate the circumference of the Earth.

The Basic problem

The simplicity and elegance of Eratosthenes' measurement of the circumference of the Earth is an excellent example of ancient Greek ingenuity. While working at the library, he learned that on the first day of summer the Egyptian town of Syene cast no shadows [8, p.339]. This happens because at noon on the day of the summer solstice the Sun is positioned directly above the town of Syene, near the modern city of Aswan, Egypt [3, p.115 ].

luce1 (2K)
luce2 (2K)
luce3 (4K)
erko (3K)

In contrast, on that same day in Alexandria a staff, or gnomon, did cast a shadow [8, p.339]. With a few measurements, some assumptions, and a little geometry, Eratosthenes was ready to approximate the circumference of the Earth [8, p.339]. Eratosthenes' original account of this measurement does not survive, but his argument has been preserved in the writings of many other ancient scholars such as Cleomedes, Strabo, and Ptolemy [4, p.1 ]. Eratosthenes makes five assumptions which he will use as hypotheses in his argument [11, p. 109 ].

  1. That Alexandria and Syene lie on the same meridian.
  2. That light rays from the Sun which strike the Earth are parallel.
  3. That the distance between Alexandria and Syene is 5000 stades.
  4. That the angle formed by the shadow and the staff in Alexandria at the summer solstice is equal to 1/50 th of a circle.
  5. That the Earth is a sphere.

Let us examine each of Eratosthenes' assumptions along with their respective justifications.

Meridian of Alexandria and Syene

  1. That Alexandria and Syene lie on the same meridian.

A meridian is an imaginary circle on the Earth's surface which passes through both the north and south poles [17, p.209 ]. The plane of any meridian bisects the Earth. If Alexandria and Syene both lie on the same meridian, Eratosthenes is guaranteed that two cities and the center of the Earth are all contained in the same plane. Now the geometrical argument takes place in two dimensions (the plane), rather than in three. How does Eratosthenes justify this assumption?

Before his famous calculation of the Earth's circumference, Eratosthenes attempted the earliest known scientific construction of a map based on mathematical geography. Using the tremendous amount of information available to him at the great library in Alexandria, Eratosthenes sought to correct the traditional Greek map of the world. He examined countless texts, compiling records of measured distances and comparing various accounts of similarities in flora, fauna, climate, astronomical observations, local peoples, etc. [1, p.389]. The map featured a main "parallel", running east to west through the city of Rhodes, and a main meridian, running north and south through Rhodes [4, p.63]. Using these two perpendicular main lines, Eratosthenes divided the map into rectangular regions he called seals, which could then be used to geometrically calculate any distance in the known world - hence the term "mathematical geography" [2, p.128]. The main meridian in this map runs directly through several cities, including Alexandria and Syene [1, p.389 ]. So Eratosthenes' first assumption is based on a map which he constructed using the wealth of knowledge available at the library of Alexandria .

Eratosthenes' map of the world appeared in his work entitled Geography, which was long regarded as the highest authority on geography in the ancient world [1, p.389 ].

Eratosthenes a záhada štádií

Preložila Klára Mrázová

V treťom storočí pr.n.l. skvelý knihovník Eratosthenes z Cyreny (276-195 p.n.l.) bol autorom dômyselnej metódy na meranie obvodu Zeme. S použitím geometrie a Slnka uskutočnil nemožné. Hoci jeho originálne práce boli dávno stratené, legendárny príbeh bol prerozprávaný viac ako po dve tisícročia. Ako u všetkych legend je veľmi ťažké oddeliť faktá od fikcie. Niektorí učenci tvrdia, že Eratosthenes určil približnú hodnotu obvodu Zeme s presnosťou 2% reálnej hodnoty. Iní zas sa domnievajú, že presnosť jeho meraní je veľmi nadhodnotená. Kľúčom k tomuto starovekému rébusu je neštandardná staroveká jednotka dĺžky - stádium alebo štádium. Skutočná dĺžka štádia, ktorú Eratosthenes používal je veľmi neistá. Tiež nie je známe, či vykonal sám merania, ktoré použil vo svojich výpočtoch, alebo či sa spoľahol na informácie získané od iných. Snáď najzáhadnejšie je, že prečo Eratosthenes nevysvetliteľne pridal 2000 štádií k pôvodnej hodnote obvodu Zeme, ktorú určil. Je to záhada, ktorú sa i dnes usilujú vedci riešiť.

Eratosthenes bol pokladaný za veľmi významného muža medzi učencami antického sveta. Bol blízkym priateľom slávneho gréckeho učenca Archiméda zo Syrakúz (287-212 p.n.l.). Svedčí o tom aj to, že jedno z najväčších diel Archiméda bolo venované Eratosthenovi.


Minule som Vám poslal jednu zo svojich teorém, ktorú som objavil, s deklaráciou a s požiadaním o dôkaz, ktorý som vtedy nepodal. Teraz Vám zasielám dôkaz. Pokladám Vás za vynikajúceho bádateľa a slávneho v oblasti filozófie ...

Pretože Eratosthenes bol veľmi erudovaný vo všetkých oblastiach bádania, ale predsa len nebol "alfou" (najväčším) v žiadnom obore, jeho kolegovia ho nazvali "beta". Eratosthenes absolvoval školu v Aténach - ekvivalent dnešnej vysokej školy. Potom odcestoval do Egypta, do Alexandrie. Veľká alexandrijská knižnica priťahovala učencov z celého starovekého sveta a bola centrom vedeckého bádania. V knihe [1, s. 388 ]. sa píše, že knižnica mala viac ako 50 000 svitkov. Okolo roku 235 p.n.l. Eratosthenes bol vymenovaný za hlavného knihovníka alexandrijskej knižnice. Bolo to práve obdobie, keď Eratosthenes navrhol svoju metódu pre aproximatívny výpočet obvodu Zeme.

Základný problém

Jednoduchosť a elegancia Eratosthenových meraní obvodu Zeme je znamenitý príklad starovekej gréckej duchaplnosti. Počas obdobia, keď pracoval v knižnici, zistil že v prvý letný deň v egyptskom meste Syena v pravé poludnie nie sú vrhnuté žiadne tiene. Je to preto, lebo v deň letného slnovratu Slnko je priamo nad Syenou (neďaleko terajšieho mesta Aswan).

Naproti tomu v ten istý deň v Alexandrii tyč, alebo gnómon tieň vrhal. Na základe niekoľkých meraní, predpokladov a trochu geometrie, Eratosthenes bol pripravený aproximatívne určiť obvod Zeme. Eratosthenes-ov originálny popis týchto meraní sa nezachoval, ale jeho dôkazy sa zachovali v záznamoch mnohých iných antických učencov, ako napríklad Cleomedes, Strabo a Ptolemaios. Eratosthenes pre svoju hypotézu použil týchto 5 predpokladov:


  1. Alexandria a Syena ležia na rovnakom poludníku
  2. Slnečné lúče dopadajúce na povrch zemský, sú rovnobežné
  3. Vzdialenosť Alexandrie od Syeny je 5000 štádií
  4. Úhol medzi gnómom pod ktorým dopadá tieň a tieňom je rovný 1/50 kruhu (360/50 =7,2°)
  5. Zem má tvar gule

Poďme preskúmať Eratosthen-ove predpoklady jeden po druhom s ich patričným zdôvodnením.

Poludník v Alexandrii a v Syene

  1. Alexandria a Syena ležia na rovnakom poludníku

Poludník je myslená kružnica na zemskom povrchu, ktorá prechádza severným a južným pólom. Rovina poludníka rozpoľuje Zemegulu. Ak Alexandria a Syena ležia na rovnakom poludníku Eratosthenes má záruku, že tieto dve mestá a stred Zeme ležia v tej istej rovine. Toto geometrické odôvodnenie platí skôr pre dva rozmery (rovina) ako pre trojrozmerný priestor. Ako Eratosthenes odôvodňuje tento svoj predpoklad?

Pred svojimi slávnymi výpočtami obvodu Zeme, Eratosthenes sa pokúsil o prvé známe zostrojenie mapy, ktorej konštrukcia bola založená na matematickej geografii. Za použitia ohromného množstva informácií, ktoré mal k dispozícii v Alexandrijskej knižnici, Eratosthenes sa snažil opraviť tradičnú grécku mapu sveta. Prezrel obrovské množstvo textov, kompilované záznamy o meraných vzdialenostiach a porovnal rôzne správy o podobnosti flóry, fauny , podnebia, astronomických pozorovaní, domorodcov a pod. Mapa uvádzala hlavnú rovnobežku prechádzajúcu z východu na zápas cez mesto Rhodos a hlavný poludník, prechádzajúci na sever a juh cez mesto Rhodos. Eratosthenes za použitia týchto dvoch kolmých hlavných línii rozdelil mapu na obdĺžnikove oblasti, ktoré sa potom mohli použiť pre výpočet vzdialeností ľubovolných miest vo vtedajšom známom svete - z toho vyplýva aj termín "matematická geografia". Hlavný poludník na tejto mape prebieha mnohými mestami, vrátane Alexandrie a Syeny. Prvý Eratosthenov predpoklad je založený na mape, ktorú zostrojil na základe bohatých vedomostí získaných v alexandrijskej knižnici.

Eratosthenova mapa sveta bola publikovaná v jeho práci, nazvanej Geografia, ktorá bola považovaná za najvyššiu autoritu v geografii antického sveta.

mer3 (129K)
Eratosthenova mapa sveta - reprodukcia z 19. storočia [19].

Poznámka prekladateľky:

Geografické súradnice Alexandrie a Syeny: Syena bola blízko dnešného Asuanu, teda Syena a Alexandria neležia na rovnakom poludníku. Vzdialenosť Aswan - Alexandria je 837,34 km na základe vzorcov sférickej trigonometrie. Ak sa berie v úvahu dĺžka štádia 170,4 m, potom vzdialenosť Alexandria - Syena vychádza 852 km, čo je veľmi dobrá aproximácia, ak porovnáme prostriedky ktoré mal Eratosthenes k dispozícii s dnešnými.
V preklade budem pokračovať postupne.
ZDROJE UVÁDZANNÉ NW:
  1. Dicks, D. R. "Eratosthenes." Dictionary of Scientific Biography. New York: Charles Scribner's Sons, 1971.
  2. Dicks, D. R. The Geographical Fragments of Hipparchus. New York: The Athlone Press at the University of London, 1960.
  3. Dunham, William. Journey Through Genius. New York: Penguin Books, 1990.
  4. Dutka, Jaques. "Eratosthenes' Measurement of the Earth Reconsidered." Archive for History of Exact Sciences 46 (1993): 55-64.
  5. Fischer, Irene. "Another Look at Eratosthenes' and Posidonius' Determinations of the Earth's Circumference."
    Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society 16 (1975): 152-167.
  6. Goldstein, Bernard R. "Eratosthenes on the "Measurement" of the Earth." Historia Mathematica 11 (1984): 411-416.
  7. Gulbekian, Edward. "The Origin and Value of the Stadion Unit used by Eratosthenes in the Third Century B.C."
    Archive for History of Exact Sciences 37 (1987): 359-363.
  8. Heath, Sir Thomas L. Aristarchus of Samos. New York: The Clarendon Press at Oxford University, 1913.
  9. Heath, Sir Thomas L. Euclid's Elements. Vol 1. New York: Dover Publications, 1956.
  10. Heath, Sir Thomas L. Euclid's Elements. Vol 2. New York: Dover Publications, 1956.
  11. Heath, Sir Thomas L. Greek Astronomy. New York: AMS Press, 1969.
  12. Heath, Sir Thomas L. Greek Mathematics. Vol 2. New York: The Clarendon Press at Oxford University, 1921.
  13. Heath, Sir Thomas L., ed. The Method of Archimedes. Cambridge: University Press at Cambridge, 1912.
  14. Jeananda, Col. Enchanted Learning. 2005. 3 Mar. 2005 Kontúrna mapa Egypta
  15. Katz, Victor J. A History of Mathematics. 2nd ed. New York: Addison Wesley Longman, 1998.
  16. Lahanas, Michael. "home page." Aug. 2005. University of Heidelberg and Frankfurt. 1 Mar. 2005 Staroveké miery
  17. "Meridian." Merriam-Webster's Pocket Dictionary. 1995.
  18. Rawlins, Dennis. "The Eratosthenes-Strabo Nile Map. Is It the Earliest Surviving Instance of Spherical Cartography?
    Did It Supply the 5000 Stades Arc
    for Eratosthenes' Experiment?" Archive for History of Exact Sciences 26 (1982): 211-219.
  19. Siebold. J. Cartographic Images. 12 Feb. 1998. Henry Davis Consulting Inc. 3 Mar. 2005 Mapa sveta podľa Eratosthena
  20. Smith, James R. From Plane to Spheroid. Rancho Cordova, CA: Landmark Enterprises, 1986.
  21. Weisstein, Eric W. Eric Weisstein’s World of Astronomy. 22 Feb. 2005. Zem - dáta
Výuka latinčiny

Stránka je v súlade s aktuálnymi normami.

Valid HTML 4.01 Transitional



Domov

©  Klára Mrázová